מתמטיקה · חדו״א — נגזרת של לוגריתם

מה הנגזרת של ln(x² + 1) — ולמה זה לא 1/(x² + 1)

‏f'(1) = 1, לא 1/2. הכלל הקצר (ln x)' = 1/x נכון בדיוק כל עוד הארגומנט הוא x בודד — וברגע שבפנים יושב ביטוי, הוא מפסיק להספיק. בעמוד הזה נפרק את הכלל המלא, נראה למה בדיקת-שפיות מקובלת אחת דווקא נכשלת על השאלה הזאת, וניתן לך את שתי השורות שמונעות את השגיאה.

התשובה
1
הכלל
(ln f)' = f'/f
במילים
נגזרת הפנימי חלקי הפנימי — לא אחד חלקי הפנימי

השאלה, ואיך היא נשאלת

שים לב לצורת השאלה: אין כאן ארבע אפשרויות לבחור מהן. בפרק הזה התשובה פתוחה — כותבים מספר או ביטוי, והוא נכון או לא. לכן הכלי המרכזי אינו פסילת-מסיח אלא בדיקה-עצמית: הצבה חזרה, בדיקת-תחום, ובדיקת סבירות של הסימן.

הפתרון, צעד אחרי צעד

הכלל המלא הוא (ln f(x))' = f'(x)/f(x), ובמילים: הנגזרת של הפנימי, חלקי הפנימי עצמו. שני הרכיבים נרשמים בצד לפני שמרכיבים אותם.

  1. f(x) = x² + 1הפנימי. רושמים אותו בנפרד — זה כל ההבדל בין הכלל המלא לכלל הקצר.
  2. x² + 1 > 0התחום, וכאן הוא חינם. ln מוגדר רק לארגומנט חיובי, ו-x² + 1 חיובי לכל x ממשי — אז אין מה לפסול. שווה לומר את זה בפירוש ולא לדלג בשקט.
  3. f'(x) = 2xנגזרת הפנימי. פולינום רגיל, כלל החזקה.
  4. (ln f)' = 2x / (x² + 1)מרכיבים: נגזרת-הפנימי במונה, הפנימי עצמו במכנה.
  5. 2·1 / (1 + 1) = 2/2 = 1מציבים x = 1. המונה 2, המכנה 2, והמנה 1.

המספר שיצא לך — ומאיפה הוא הגיע

ארבע התשובות שמתקבלות בפועל בשאלה הזאת, וכל אחת ומקורה
מה שיצאמה נעשה בפועלמה מתקן את זה
חצינכתב 1/(x² + 1) — הפנימי 2x נשכח לגמרילרשום את הפנימי ואת נגזרתו בצד לפני ההרכבה
2נגזרת-הפנימי הוגשה לבדה: 2x ב-x = 1עצירה באמצע הדרך — הפנימי הוא רק המונה, לא התשובה
4 חלקי 5הגזירה נכונה לגמרי, אבל הוצב x = 2 במקום x = 1לחזור לגזע ולקרוא באיזו נקודה נשאלה השאלה
0הוצב x = 0 במקום x = 1 — שם המונה מתאפסאותה בדיקה: תשובה נכונה לשאלה אחרת

שתיים מארבע השורות אינן שגיאות בכלל השרשרת — הן שגיאות קריאה. זו הסיבה שהחזרה לגזע אחרי החישוב שווה בדיוק כמו החישוב עצמו.

המקדם שמצטמצם, ובדיקת-השפיות שנכשלת כאן

דוגמה אחת מראה את הכלל בלי חישוב: (ln 3x)' = 3/(3x) = 1/x. התוצאה זהה לנגזרת של ln x — המקדם מצטמצם. מי שכתב 3/x הכפיל בפנימי במקום לחלק בו; מי שכתב 1/(3x) שכח אותו לגמרי. שלוש תשובות שונות לאותה שאלה, ורק אחת נכונה.

הניסוח הנכון של אותה בדיקה: בתוך התחום הפנימי חיובי, ולכן הסימן של f'/f הוא בדיוק הסימן של f'. איפה שהפנימי עולה — הנגזרת חיובית; איפה שהוא יורד — היא שלילית. זו בדיקה שעובדת בכל מקרה.

שתי השורות שאפשר לקחת הלאה

  • כותבים את הפנימי ואת נגזרתו בצד לפני שמרכיבים את השבר. שתי שניות.
  • המונה הוא נגזרת-הפנימי, המכנה הוא הפנימי. מי שהופך ביניהם מקבל ביטוי שלא קשור.
  • סימן הנגזרת = סימן נגזרת-הפנימי, כי הפנימי חיובי בתוך התחום. זו בדיקת-הסבירות שכן עומדת.

בדיקה עצמית (בשאלון התשובה פתוחה — כאן האפשרויות הן כדי שתאבחן את עצמך): מהי הנגזרת של e בחזקת x² בנקודה x = 1?

  1. (א)e
  2. (ב)2e
  3. (ג)2
  4. (ד)0
גלה את התשובה

התשובה: (ב) 2e

אותו הרגל בדיוק, משפחה אחרת: הפנימי הוא x² ונגזרתו 2x, ולכן f'(x) = 2x · e^{x²} ובהצבת 1 מתקבל 2e. התשובה e היא שכחת הפנימי; 2 היא הגשת נגזרת-הפנימי לבדה. במעריכית נגזרת-הפנימי מוכפלת מבחוץ, ובלוגריתם היא המונה — בשני המקרים הפנימי הוא מה שנשכח.

אותו הסבר, בווידאו

הפנימי שנשכח — הריל

42 שניות · מתמטיקה 4 יח׳ · י״ב · הפקה מקורית של EduFlow

אותו שיעור חי גם בקורס מתמטיקה 5 יח׳ · י״ב — אותו ריל בדיוק, מוגש בשני הקורסים.

הריל מתחיל מושתק — הפעל את הקול כדי לשמוע את ההסבר.

תמלול הריל (הטקסט המלא)

מה הנגזרת של לן של איקס בריבוע ועוד אחד? חמש שניות. כתבת אחד חלקי הביטוי? זו המלכודת. הכלל הוא נגזרת הפנימי חלקי הפנימי. הפנימי הוא איקס בריבוע ועוד אחד. בודקים תחום: לן דורש פנימי חיובי. והוא חיובי לכל איקס. נגזרת הפנימי היא פעמיים איקס. מקבלים פעמיים איקס חלקי הפנימי. מציבים איקס שווה אחד. שתיים חלקי שתיים, כלומר אחד. אם קיבלת חצי, שכחת את הפנימי. רשמו פנימי ונגזרתו לפני ההרכבה.

שאלות ותשובות

מה הנגזרת של ln של x בריבוע ועוד אחד?
היא פעמיים x חלקי x בריבוע ועוד אחד. הכלל הוא נגזרת הפנימי חלקי הפנימי: הפנימי הוא x בריבוע ועוד אחד ונגזרתו היא פעמיים x, ולכן הנגזרת היא 2x חלקי (x בריבוע ועוד 1). בנקודה x שווה אחד מתקבל 2 חלקי 2, כלומר 1.
למה זה לא פשוט אחד חלקי הביטוי?
כי אחד חלקי x הוא הנגזרת של ln של x בלבד, כשהארגומנט הוא x בודד. ברגע שבפנים יושבת פונקציה, כלל השרשרת מוסיף את נגזרת הפנימי במונה. מי שכותב אחד חלקי הפנימי מקבל חצי בשאלה הזאת — מספר שנראה תקין ואינו הנגזרת.
צריך לבדוק תחום הגדרה גם כשגוזרים?
כן, ובשאלה הזאת זה חינם: x בריבוע ועוד אחד חיובי לכל x ממשי, ולכן הפונקציה מוגדרת בכל הישר. זה חריג נעים — ברוב שאלות הלוגריתם התחום כן מגביל, ולכן שווה לומר בפירוש שבדקת ולא לדלג בשקט.
נכון שנגזרת שלילית של ln תמיד מעידה על טעות?
לא, וזו אמונה שנופלת בדיוק כאן. עבור f של x שהוא ln של x בריבוע ועוד אחד מתקבל שהנגזרת במינוס אחד היא מינוס אחד — שלילית לגמרי — בעוד הארגומנט חיובי. הכלל הזה תקף ל-ln של x בלבד. הניסוח הנכון: הסימן של הנגזרת שווה לסימן של נגזרת הפנימי.
מה קורה עם מקדם בתוך הלוגריתם, כמו ln של 3x?
המקדם מצטמצם. הנגזרת היא 3 חלקי 3x, שהוא אחד חלקי x — בדיוק כמו הנגזרת של ln של x. מי שכתב 3 חלקי x הכפיל בפנימי במקום לחלק בו, ומי שכתב אחד חלקי 3x שכח את הפנימי לגמרי.

מלכודות קרובות

אותו הרגל-פתרון, גזע שאלה אחר.

כל המדריכים לפי מסלול →

עוד 12 רילים כמו זה — בלי להוריד כלום

מתמטיקה 4 ו-5 יחידות ואנגלית — כל ריל מפרק מלכודת אחת בפתרון אחד. חינם, בעברית.

לצפות בריל הזה ולהמשיך → הורדה מה-App Store

חינם · iOS · ללא רישום כדי לצפות

תוכן חינוכי מקורי המלמד לקראת בחינות הבגרות. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף למשרד החינוך. מבנה הבחינות ותוכנית הלימודים משתנים מעת לעת — יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר ומול הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך.

המספרים בעמוד הזה נגזרים מחבילת-המקור שלנו לנושא (demo/pilot_bagrut/source_packs/math45_calculus_exp_ln.md) ומהתמלול של הריל עצמו. השאלות המובאות כאן הן שאלות מקוריות של EduFlow שנכתבו ונפתרו אצלנו — לא פריטים מתוך שאלון בגרות. נתוני המבנה מבוססים על תוכניות-הלימודים ועל הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך ב-edu.gov.il; יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר.