ln של סכום — למה ln(a+b) אינו ln a ועוד ln b

ההמצאה, ואיך מפילים אותה בשורה אחת

הטענה שממציאים היא ש-ln(a + b) שווה ל-ln a + ln b. כדי להפיל כלל מספיקה דוגמה נגדית אחת, ואת זו אפשר לעשות בלי מחשבון.

a = b = 1בוחרים את המספרים הכי פשוטים שיש.
ln(1 + 1) = ln 2אגף שמאל. ln 2 הוא מספר חיובי — בוודאי לא אפס.
ln 1 + ln 1 = 0 + 0 = 0אגף ימין. הלוגריתם הטבעי של אחד הוא אפס, ולכן הסכום אפס.
ln 2 ≠ 0שני מספרים שונים. הכלל הופרך, וזהו.

שלושת החוקים שכן עובדים

כל שלושתם עובדים על מכפלה, מנה וחזקה — אף אחד מהם לא על סכום
הפעולה	החוק	התנאי
מכפלה ⟵ סכום	ln(a·b) = ln a + ln b	a > 0 וגם b > 0
מנה ⟵ הפרש	ln(a/b) = ln a − ln b	a > 0 וגם b > 0
חזקה ⟵ מקדם	ln(aⁿ) = n · ln a	a > 0

ולצדם שתי זהויות-ההיפוך שמסיימות משוואות: e^{ln a} = a עבור a חיובי, ו-ln(e^x) = x. הן מה שמאפשר "להוריד" לוגריתם או מעריכית משני האגפים.

התנאי "ארגומנט חיובי" הוא חלק מהחוק

בלי המגביל, שלושת החוקים למעלה הופכים לטענות שקריות. אפשר לראות את זה בשורה אחת.

קח a = −2 ו-n = 2. אגף שמאל: ln((−2)²) = ln 4, שהוא מוגדר — בערך 1.3863.
אגף ימין: 2 · ln(−2), שאינו קיים כמספר ממשי בכלל. אגף אחד מוגדר, השני לא.
אותה א-סימטריה בחוק המכפלה: ln((−1)·(−1)) = ln 1 = 0 מוגדר, ואילו ln(−1) + ln(−1) לא.

איך זה נראה בשאלה שלמה

ln(a·b³) = ln a + ln(b³)צעד ראשון — פירוק המכפלה לסכום. עוד לא נגענו בחזקה.
ln(b³) = 3 · ln bצעד שני — הורדת החזקה, ורק על b.
3 + 3·5 = 18מציבים את הנתונים. התשובה: 18.

ארבע התשובות שמתקבלות בפועל, וכל אחת ומקורה
מה שיצא	מה נעשה בפועל	מה מתקן את זה
8	המכפלה פורקה נכון, והחזקה נבלעה: 3 + 5	לעשות את שני הצעדים בנפרד, לא בשורה אחת
15	הלוגריתמים הוכפלו במקום לחובר: 3 · 5	חוק המכפלה נותן סכום; החזקה נותנת מקדם
24	החזקה הורדה על כל הביטוי: 3 · (3 + 5)	החזקה יושבת על b בלבד
e בחזקת 18	חושב הביטוי עצמו במקום הלוגריתם שלו	השאלה נשאלה על הלוגריתם, והוא נקבע מהנתונים בלי לחשב את a ואת b

הכלל שאפשר לקחת הלאה

רואים סכום בתוך הלוגריתם — לא מפרקים. אין לזה חוק, ולא יהיה.
מפרקים בשני צעדים נפרדים — קודם מכפלה לסכום, ורק אחר-כך חזקה למקדם.
דוגמה נגדית אחת מפילה כלל. אם אתה לא בטוח בחוק, הצב 1 ו-1 ותראה.

בדיקה עצמית (בשאלון התשובה פתוחה — כאן האפשרויות הן כדי שתאבחן את עצמך): נתון ln a = 2 ו-ln b = 4, כאשר a ו-b חיוביים. מהו ln(a²·b)?

גלה את התשובה

התשובה: (ב) 8

קודם מכפלה לסכום: ln(a²·b) = ln(a²) + ln b. אחר-כך חזקה למקדם: ln(a²) = 2 · ln a = 4. מציבים: 4 + 4 = 8. התשובה 6 היא שכחת החזקה, 8 מתקבלת רק כששני הצעדים נעשו — ו-16 היא הורדת החזקה על כל הביטוי במקום על a בלבד.

אותו הסבר, בווידאו

החוק שלא קיים — הריל

34 שניות · מתמטיקה 4 יח׳ · י״ב · הפקה מקורית של EduFlow

אותו שיעור חי גם בקורס מתמטיקה 5 יח׳ · י״ב — אותו ריל בדיוק, מוגש בשני הקורסים.

הריל מתחיל מושתק — הפעל את הקול כדי לשמוע את ההסבר.

תמלול הריל (הטקסט המלא)

יש חוק לוגריתמים שקל להמציא. מפרקים לן של סכום לשני לוגריתמים. חוק כזה פשוט לא קיים. נציב אחד ועוד אחד. לן של שתיים אינו אפס. לן של אחד הוא אפס. אפס ועוד אפס נותן אפס. שני גבהים שונים על הגרף. החוקים האמיתיים עובדים על מכפלה, מנה וחזקה. לן של מכפלה שווה סכום הלוגריתמים. אבל רק כשכל גורם חיובי. לן מוגדר רק כשהארגומנט חיובי. כשרואים סכום בתוך הלוגריתם, לא מפרקים.

שאלות ותשובות

האם ln של a ועוד b שווה ln a ועוד ln b?

לא, ואין שום חוק שמפרק לוגריתם של סכום. הדוגמה הנגדית הפשוטה ביותר היא a=b=1: אגף שמאל הוא ln של 2, שאינו אפס, ואגף ימין הוא אפס ועוד אפס שהוא אפס. שני מספרים שונים, והכלל מופרך.

אז מה כן מותר לעשות עם לוגריתם?

שלושה חוקים: לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים, לוגריתם של מנה שווה להפרש, ולוגריתם של חזקה שווה למעריך כפול הלוגריתם של הבסיס. שלושתם עובדים על מכפלה, מנה וחזקה — אף אחד מהם לא על סכום, וכולם דורשים ארגומנטים חיוביים.

למה צריך לציין שהארגומנטים חיוביים?

כי בלי התנאי החוקים הופכים לטענות שקריות. עבור a שווה מינוס 2 ו-n שווה 2, אגף שמאל הוא ln של 4 והוא מוגדר, ואילו אגף ימין הוא פעמיים ln של מינוס 2 — שאינו קיים כמספר ממשי. התנאי אינו קישוט, הוא חלק מהחוק.

איך פותרים ln של a כפול b בשלישית כשנתונים ln a ו-ln b?

בשני צעדים נפרדים. קודם מפרקים את המכפלה לסכום, ומקבלים ln a ועוד ln של b בשלישית. אחר-כך מורידים את החזקה על b בלבד, ומקבלים ln a ועוד שלוש כפול ln b. עם הנתונים 3 ו-5 מתקבל 3 ועוד 15, כלומר 18.

מלכודות קרובות

אותו הרגל-פתרון, גזע שאלה אחר.

כל המדריכים לפי מסלול →

עוד 12 רילים כמו זה — בלי להוריד כלום

מתמטיקה 4 ו-5 יחידות ואנגלית — כל ריל מפרק מלכודת אחת בפתרון אחד. חינם, בעברית.

לצפות בריל הזה ולהמשיך → הורדה מה-App Store

חינם · iOS · ללא רישום כדי לצפות

תוכן חינוכי מקורי המלמד לקראת בחינות הבגרות. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף למשרד החינוך. מבנה הבחינות ותוכנית הלימודים משתנים מעת לעת — יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר ומול הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך.

הכללים והמספרים בעמוד הזה נגזרים מחבילת-המקור שלנו לנושא (demo/pilot_bagrut/source_packs/math45_calculus_exp_ln.md) ומהתמלול של הריל עצמו. השאלות המובאות כאן הן שאלות מקוריות של EduFlow שנכתבו ונפתרו אצלנו — לא פריטים מתוך שאלון בגרות. נתוני המבנה מבוססים על תוכניות-הלימודים ועל הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך ב-edu.gov.il; יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר.