משוואה לוגריתמית — למה צריך לרשום את תחום ההגדרה קודם

Q: למה x=1 אינו פתרון של המשוואה ln(x−2)+ln(x−4)=ln 3?

כי שם שני הלוגריתמים אינם מוגדרים כלל: x פחות 2 שווה מינוס 1, ו-x פחות 4 שווה מינוס 3. ln מוגדר רק לארגומנט חיובי, ולכן x=1 לא נמצא בתחום ההגדרה של המשוואה המקורית — גם אם הוא פותר את הריבועית שהתקבלה אחריה.

Q: פתרון-שווא זה טעות חישוב?

לא. הוא תוצר-לוואי חוקי של המעבר מ-ln A ועוד ln B אל המכפלה A כפול B. המעבר הזה חוקי רק בתוך תחום ההגדרה, ומחוץ לו הוא מייצר מספרים שפותרים את המשוואה האלגברית ולא את המקורית. אפשר לעשות את כל החשבון נכון ועדיין לקבל מועמד שאינו פתרון.

Q: מתי רושמים את תחום ההגדרה — לפני או אחרי?

לפני. רושמים אותו בשורה הראשונה של הפתרון ובודקים מולו כל מועמד בשורה האחרונה. מי שמשאיר את זה לסוף כותב את התחום רק כשהוא נזכר, וזה בדיוק מה שלא קורה תחת לחץ.

Q: כשיש כמה לוגריתמים, לוקחים את התנאי המחמיר?

לוקחים את החיתוך של כל התנאים. החיתוך שווה לתנאי המחמיר רק כשהתנאים מקוננים, למשל x גדול מ-2 וגם x גדול מ-4. כשהם אינם מקוננים — למשל ln של x פחות 2 ועוד ln של 5 פחות x — החיתוך הוא רצועה בין 2 ל-5, ואינו אף אחד משני התנאים.

השאלה, ולמה היא לא נגמרת בריבועית

התשובה בפרק הזה פתוחה — אין ארבע אפשרויות לבחור מהן, כותבים מספר. וזו בדיוק הסיבה שהשאלה מסוכנת: אין מסיח שיצעק עליך, ותשובה שגויה נראית בדיוק כמו תשובה נכונה.

שלושה צעדים, ובסדר הזה בדיוק

x > 2 וגם x > 4 ⟹ x > 4שלב 1 — התחום, לפני הכל. ln מוגדר רק לארגומנט חיובי: x − 2 > 0 נותן x > 2, ו-x − 4 > 0 נותן x > 4. התחום הוא החיתוך של שני התנאים.
(x − 2)(x − 4) = 3שלב 2 — האלגברה. לפי חוק הסכום, ln[(x−2)(x−4)] = ln 3, ולכן הארגומנטים שווים.
x² − 6x + 5 = 0פותחים סוגריים ומסדרים. מפרקים: שני מספרים שמכפלתם 5 וסכומם 6 הם 1 ו-5.
x = 1 או x = 5שני מועמדים — לא שני פתרונות. ההבדל בין המילים הוא כל השאלה.
x = 5שלב 3 — הפסילה. ב-x = 1 מתקבל x − 2 = −1 ו-x − 4 = −3: שני הלוגריתמים אינם מוגדרים שם. ‏x = 5 מקיים x > 4 ונשאר.

המספר שיצא לך — ומאיפה הוא הגיע

ארבע התשובות שמתקבלות בפועל, וכל אחת ומקורה
מה שיצא	מה נעשה בפועל	מה מתקן את זה
גם 1 וגם 5	הריבועית נפתרה נכון לחלוטין, והתחום לא נבדק כלל	לרשום את התחום בשורה הראשונה ולבדוק מולו כל מועמד
1	נפסל המועמד הלא-נכון מבין השניים — נבדק "מי קטן" במקום מי בתחום	הקריטריון הוא התנאי, לא הגודל
x גדול מ-2	נלקח התנאי המקל מבין השניים במקום החיתוך	כשיש כמה לוגריתמים התחום הוא החיתוך, לא האיחוד
אין פתרון	תיקון-יתר: שני המועמדים נפסלו יחד	בודקים כל מועמד בנפרד מול התחום

השורה הראשונה היא זו שכדאי לשים לב אליה: היא לא נובעת מחוסר ידע באלגברה. להפך — היא מגיעה ממי שפתר את הריבועית מהר ונכון. זו המלכודת שהשאלה בנויה סביבה.

"החיתוך" אינו תמיד "התנאי המחמיר"

בשאלה שלמעלה שני התנאים מקוננים — כל x שגדול מ-4 גדול ממילא מ-2 — ולכן החיתוך הוא פשוט המחמיר. אבל זה מקרה פרטי, לא כלל.

שני מצבים, אותו כלל — החיתוך
הביטוי	התנאים	התחום
ln(x−2) + ln(x−4)	x > 2 וגם x > 4	x > 4 — מקונן, אז המחמיר
ln(x−2) + ln(5−x)	x > 2 וגם x < 5	2 < x < 5 — רצועה, ואף אחד מהשניים

הכלל שאפשר לקחת הלאה

התחום נרשם בשורה הראשונה של הפתרון, לא בסוף. מי שכותב אותו בסוף כותב אותו רק כשהוא נזכר.
מה שיוצא מהאלגברה הוא מועמד, לא פתרון, עד שנבדק מול התחום.
פוסלים בפירוש ואומרים למה — "שם הארגומנט שלילי" — ולא מוחקים בשקט.

בדיקה עצמית (בשאלון התשובה פתוחה — כאן האפשרויות הן כדי שתאבחן את עצמך): מהו תחום ההגדרה של ln(x − 2) + ln(5 − x)?

גלה את התשובה

התשובה: (ב) 2 < x < 5

שני הארגומנטים חייבים להיות חיוביים בו-זמנית: x − 2 > 0 נותן x > 2, ו-5 − x > 0 נותן x < 5. החיתוך הוא הרצועה 2 < x < 5. כאן התנאים אינם מקוננים, ולכן התחום אינו אף אחד משני התנאים בנפרד — וזו בדיוק הסיבה שהכלל נאמר כ"חיתוך" ולא כ"המחמיר".

אותו הסבר, בווידאו

התחום נרשם ראשון — הריל

44 שניות · מתמטיקה 4 יח׳ · י״ב · הפקה מקורית של EduFlow

אותו שיעור חי גם בקורס מתמטיקה 5 יח׳ · י״ב — אותו ריל בדיוק, מוגש בשני הקורסים.

הריל מתחיל מושתק — הפעל את הקול כדי לשמוע את ההסבר.

תמלול הריל (הטקסט המלא)

עצור לפני שאתה פותר. לפניך משוואה לוגריתמית. האלגברה נותנת שני מועמדים, אחד וחמש. האם שניהם באמת פותרים? חמש שניות. אם ענית כן, דילגת על התחום. לן מוגדר רק כשהארגומנט חיובי. איקס פחות שתיים חיובי מעל שתיים. איקס פחות ארבע חיובי מעל ארבע. התחום הוא החיתוך, מעל ארבע. משמאל לארבע אין עקומה. המועמד אחד נופל מחוץ לתחום. חמש עומד בתנאי, והוא הפתרון היחיד. רשום את התחום בשורה הראשונה.

שאלות ותשובות

למה x=1 אינו פתרון של המשוואה ln(x−2)+ln(x−4)=ln 3?

כי שם שני הלוגריתמים אינם מוגדרים כלל: x פחות 2 שווה מינוס 1, ו-x פחות 4 שווה מינוס 3. ln מוגדר רק לארגומנט חיובי, ולכן x=1 לא נמצא בתחום ההגדרה של המשוואה המקורית — גם אם הוא פותר את הריבועית שהתקבלה אחריה.

פתרון-שווא זה טעות חישוב?

לא. הוא תוצר-לוואי חוקי של המעבר מ-ln A ועוד ln B אל המכפלה A כפול B. המעבר הזה חוקי רק בתוך תחום ההגדרה, ומחוץ לו הוא מייצר מספרים שפותרים את המשוואה האלגברית ולא את המקורית. אפשר לעשות את כל החשבון נכון ועדיין לקבל מועמד שאינו פתרון.

מתי רושמים את תחום ההגדרה — לפני או אחרי?

לפני. רושמים אותו בשורה הראשונה של הפתרון ובודקים מולו כל מועמד בשורה האחרונה. מי שמשאיר את זה לסוף כותב את התחום רק כשהוא נזכר, וזה בדיוק מה שלא קורה תחת לחץ.

כשיש כמה לוגריתמים, לוקחים את התנאי המחמיר?

לוקחים את החיתוך של כל התנאים. החיתוך שווה לתנאי המחמיר רק כשהתנאים מקוננים, למשל x גדול מ-2 וגם x גדול מ-4. כשהם אינם מקוננים — למשל ln של x פחות 2 ועוד ln של 5 פחות x — החיתוך הוא רצועה בין 2 ל-5, ואינו אף אחד משני התנאים.

מלכודות קרובות

אותו הרגל-פתרון, גזע שאלה אחר.

כל המדריכים לפי מסלול →

עוד 12 רילים כמו זה — בלי להוריד כלום

מתמטיקה 4 ו-5 יחידות ואנגלית — כל ריל מפרק מלכודת אחת בפתרון אחד. חינם, בעברית.

לצפות בריל הזה ולהמשיך → הורדה מה-App Store

חינם · iOS · ללא רישום כדי לצפות

תוכן חינוכי מקורי המלמד לקראת בחינות הבגרות. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף למשרד החינוך. מבנה הבחינות ותוכנית הלימודים משתנים מעת לעת — יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר ומול הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך.

המספרים בעמוד הזה נגזרים מחבילת-המקור שלנו לנושא (demo/pilot_bagrut/source_packs/math45_calculus_exp_ln.md) ומהתמלול של הריל עצמו. השאלות המובאות כאן הן שאלות מקוריות של EduFlow שנכתבו ונפתרו אצלנו — לא פריטים מתוך שאלון בגרות. נתוני המבנה מבוססים על תוכניות-הלימודים ועל הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך ב-edu.gov.il; יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר.