הסתברות וקומבינטוריקה בפסיכומטרי: מה צריך לדעת

איפה הנושא בבחינה

מדצמבר ⁦2026⁩ החשיבה הכמותית היא חצי מהציון: ⁦50%⁩. בבחינה יש שני פרקים כמותיים מתוך חמשת פרקי הברירה.

השאלה בנויה בדרך כלל כך: «נתון: … . מהו…?» או «איזה מהבאים…?», עם ארבע תשובות. הגזע לא מכריז באיזה כלי להשתמש; את זה צריך לזהות לבד.

הכלים שבהמשך הם סיכום של ⁦EduFlow⁩ למתמטיקה של הנושא, ולא רשימה רשמית של מאל"ו. הדוגמאות משתמשות במספרים קטנים בכוונה, כדי שיהיה קל לבדוק אותן ביד.

עיקרון הכפל: כמה אפשרויות יש

כשבחירה בנויה מכמה שלבים, וכל שלב לא תלוי בקודמו, מכפילים את מספר האפשרויות בכל שלב.

דוגמה: ⁦3⁩ חולצות ו-⁦2⁩ מכנסיים נותנים ⁦3 · 2 = 6⁩ צירופים שונים של חולצה ומכנסיים.

אותו כלל עובד על קודים. בקוד של שתי ספרות, כשכל ספרה יכולה להיות אחת משלוש ספרות מותרות, יש ⁦3 · 3 = 9⁩ קודים אפשריים.

סידורים ובחירות: האם הסדר משנה

לפני כל חישוב שואלים שאלה אחת: האם הסדר משנה?

• כשהסדר משנה (סידור): מסדרים ⁦3⁩ ספרים על מדף. לספר הראשון יש ⁦3⁩ מקומות, לשני נשארים ⁦2⁩ ולשלישי ⁦1⁩, ולכן יש ⁦3 · 2 · 1 = 6⁩ סידורים.
• כשהסדר לא משנה (בחירה): בוחרים שני נציגים מתוך דנה, יואב ומאיה. אם הסדר היה משנה, היו ⁦3 · 2 = 6⁩ אפשרויות. אבל «דנה ויואב» ו«יואב ודנה» הם אותו זוג, ולכן מחלקים במספר הסידורים של שני נבחרים: ⁦6 ÷ 2 = 3⁩ זוגות.

בדיקה: הזוגות הם דנה ויואב, דנה ומאיה, יואב ומאיה. שלושה, כמו בחישוב. כשהמספרים קטנים, רשימה כזו היא הדרך הכי בטוחה לבדוק את עצמכם.

מילים בשאלה יכולות לרמוז: «לסדר», «בשורה» או «תפקידים שונים» רומזות שהסדר משנה; «לבחור ועדה», «קבוצה» או «זוג» רומזות שלא. (זו הצעה של ⁦EduFlow⁩.)

הסתברות: הרצוי חלקי הכול

כשלכל התוצאות יש אותו סיכוי, ההסתברות של אירוע היא מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר כל התוצאות. לכן הסתברות היא תמיד מספר בין ⁦0⁩ ל-⁦1⁩.

דוגמה: בקובייה רגילה יש ⁦6⁩ תוצאות, ושלוש מהן זוגיות. הסיכוי לקבל מספר זוגי הוא ⁦3⁩ מתוך ⁦6⁩, כלומר ⁦½⁩.

את הספירה של «כל התוצאות» עושים בכלים מהסעיפים הקודמים: עיקרון הכפל, סידורים ובחירות.

המשלים: לספור את מה שלא רוצים

הסיכוי שאירוע לא יקרה הוא ⁦1⁩ פחות הסיכוי שיקרה. בקובייה, הסיכוי לא לקבל ⁦6⁩ הוא ⁦1 − ⅙ = ⅚⁩.

המשלים שימושי במיוחד בשאלות של «לפחות אחד». במקום לספור את כל המקרים שבהם יש לפחות הצלחה אחת, מחשבים את הסיכוי שאין אף הצלחה ומחסירים אותו מ-⁦1⁩.

דוגמה: מטילים מטבע פעמיים. הסיכוי שלא יצא עץ באף הטלה הוא ⁦½ · ½ = ¼⁩, ולכן הסיכוי לקבל עץ לפחות פעם אחת הוא ⁦1 − ¼ = ¾⁩.

«וגם» ו«או»: מתי מכפילים ומתי מחברים

• «וגם», כשאירוע אחד לא משפיע על השני: מכפילים. הסיכוי לקבל מספר זוגי בקובייה וגם עץ במטבע הוא ⁦½ · ½ = ¼⁩.
• «או», כששני האירועים לא יכולים לקרות יחד: מחברים. הסיכוי לקבל ⁦1⁩ או ⁦2⁩ בקובייה הוא ⁦⅙ + ⅙ = ⅓⁩.
• שליפה בלי החזרה: אחרי כל שליפה נשארים פחות פריטים, ולכן הסיכוי משתנה. בשקית עם ⁦2⁩ כדורים אדומים וכדור כחול אחד, הסיכוי לשלוף שני אדומים ברצף הוא ⁦⅔ · ½ = ⅓⁩.

בדיקות קצרות לפני שבוחרים תשובה

ההצעות הבאות הן של ⁦EduFlow⁩ ולא של מאל"ו:

• הסתברות גדולה מ-⁦1⁩ או קטנה מ-⁦0⁩ היא סימן בטוח לטעות בחישוב.
• אם הסדר לא משנה ולא חילקתם במספר הסידורים, התוצאה תצא גדולה מדי.
• בשאלה של «לפחות אחד» כדאי לחשב קודם את המשלים.
• כשהמספרים קטנים, אפשר פשוט לרשום את כל האפשרויות ולספור, כמו ברשימת הנציגים למעלה.

איך מתרגלים

בעמוד תרגול הסתברות וקומבינטוריקה יש שאלות מקוריות לפי רמות קושי, עם הסבר לכל תשובה. את הנושא בתוך תמהיל של סוגי שאלות אפשר לבדוק במבחן הקצר, ובתוכנית הלימוד לשישה שבועות הוא מקבל שבוע משלו.

שלוש שאלות לתרגול

שלוש שאלות במבנה של הבחינה, עם ארבע תשובות ואחת נכונה. הן נכתבו ב-⁦EduFlow⁩ ואינן שאלות רשמיות של מאל"ו.

1. שאלה 1רמת קושי 3 מתוך 5

   במפעל כל חלק פגום בסיכוי זהה, באופן בלתי-תלוי בחלקים האחרים. ההסתברות שבבדיקה של ⁦2⁩ חלקים יימצא לפחות חלק פגום אחד היא ⁦3/4⁩. מה ההסתברות שבבדיקה של ⁦3⁩ חלקים יימצא לפחות חלק פגום אחד?

   1. (1)⁦15/16⁩
   2. (2)⁦7/8⁩
   3. (3)⁦1/8⁩
   4. (4)⁦3/8⁩

   הצגת התשובה וההסבר

   התשובה הנכונה: (2) ⁦7/8⁩

   ⁦3/4⁩ ל«לפחות אחד» ב-⁦2⁩ חלקים פירושו ש«אף חלק פגום» הוא ⁦1/4⁩, כלומר ⁦1/2 × 1/2⁩. לכן סיכוי תקין לחלק אחד הוא ⁦1/2⁩, אף חלק פגום מתוך ⁦3⁩ הוא ⁦1/8⁩, ו-⁦1 − 1/8 = 7/8⁩.

   הכלל בשורה אחת: משלים ב-⁦2⁩ חלקים: ⁦1/4⁩, לכן חלק תקין ⁦1/2⁩; ב-⁦3⁩ חלקים ⁦1 − 1/8 = 7/8⁩.

2. שאלה 2רמת קושי 3 מתוך 5

   בחוג ⁦7⁩ משתתפים. בוחרים מהם ⁦2⁩ שיארגנו יחד את הטיול, בלי חלוקה לתפקידים. בכמה דרכים אפשר לבחור את השניים?

   1. (1)⁦21⁩
   2. (2)⁦42⁩
   3. (3)⁦5040⁩
   4. (4)⁦13⁩

   הצגת התשובה וההסבר

   התשובה הנכונה: (1) ⁦21⁩

   צוות בלי תפקידים — הסדר לא קובע; ⁦7 · 6 = 42⁩ סופר כל צוות פעמיים, ולכן מחלקים בשתיים ומקבלים ⁦21⁩.

   הכלל בשורה אחת: בחירה בלי תפקידים: ⁦7 × 6⁩ מחולק בסדרים של הזוג ⁦(2!)⁩, כלומר ⁦42 ÷ 2⁩.

3. שאלה 3רמת קושי 4 מתוך 5

   בקבוצה ⁦3⁩ בנים ו-⁦3⁩ בנות. בוחרים באקראי שני חברים שונים מהקבוצה. מה ההסתברות שנבחרו בן אחד ובת אחת?

   1. (1)⁦1/2⁩
   2. (2)⁦3/10⁩
   3. (3)⁦2/5⁩
   4. (4)⁦3/5⁩

   הצגת התשובה וההסבר

   התשובה הנכונה: (4) ⁦3/5⁩

   בן ואז בת הוא ⁦3/6⁩ כפול ⁦3/5⁩, ⁦3/10⁩, ובת ואז בן גם הוא ⁦3/10⁩; יחד ⁦3/5⁩.

   הכלל בשורה אחת: «בן ובת»: מחשבים ענף אחד של בן-בת ומכפילים ב-⁦2⁩ בגלל שני הסדרים.

בחרו תשובה כדי לראות אם צדקתם, או פתחו את «הצגת התשובה וההסבר». תוכן חינוכי מקורי המלמד את מבנה המבחן הפסיכומטרי הציבורי. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף ל-NITE/מאל"ו.

רוצים עוד? מבחן מתכונת קצר, עכשיו בדפדפן