משיק למעגל בנקודה — צעד אפס: לבדוק שהנקודה על המעגל

למה יש כאן צעד אפס בכלל

משיק למעגל בנקודה שעל המעגל מאונך לרדיוס באותה נקודה. זו תכונה גאומטרית, וממנה נגזרת הפרוצדורה כולה. אבל שים לב מה היא מניחה: שהנקודה שקיבלת היא נקודת השקה.

לנקודה שנמצאת מחוץ למעגל עוברים שני משיקים — לא אחד.
לנקודה שנמצאת בתוך המעגל לא עובר אף משיק.
רק לנקודה על המעגל יש בדיוק משיק אחד, וזה מה שהפרוצדורה מחשבת.

השאלה, וארבעת הצעדים

(5−1)² + (0+2)² = 16 + 4 = 20צעד 0 — האם A בכלל על המעגל? מציבים באגף השמאלי ומשווים לאגף הימני. יצא בדיוק 20 ✓. עכשיו מותר להמשיך.
O(1, −2)צעד 1 — המרכז. ‏(x − 1)² נותן a = 1; ‏(y + 2)² נותן b = −2. הסימן בתוך הסוגריים הפוך לשיעור המרכז.
(0 − (−2)) / (5 − 1) = 2/4 = 1/2צעד 2 — שיפוע הרדיוס, מהמרכז O אל נקודת ההשקה A.
m = −2צעד 3 — שיפוע המשיק. ההופכי-והנגדי של 1/2. זו התשובה.
(1/2) · (−2) = −1בדיקה. אם רוצים גם את המשוואה: y = −2x + 10, ופתרון המערכת שלה עם המעגל נותן את (5, 0) בלבד — נגיעה בנקודה אחת ✓.

שתי מלכודות קריאה בתוך משוואת המעגל

מה שכתוב במשוואה מול מה שהוא אומר
מה שכתוב	מה שזה אומר	הקריאה השגויה
(x − 1)²	שיעור ה-x של המרכז הוא 1	—
(y + 2)²	שיעור ה-y של המרכז הוא −2	לקרוא 2 — ואז המעגל יושב במקום אחר במישור
= 20	הרדיוס בריבוע הוא 20	להגיש 20 כרדיוס במקום √20

שתי הקריאות השגויות האלה אינן שגיאות בפרוצדורה — הן שגיאות בשורה הראשונה, לפני שהתחילה. וכשהן קורות, כל מה שבא אחריהן נכון ומיותר.

המספר שיצא לך — ומאיפה הוא הגיע

ארבע התשובות שמתקבלות בפועל, וכל אחת ומקורה
מה שיצא	מה נעשה בפועל	מה מתקן את זה
חצי	שיפוע הרדיוס חושב נכון והוגש כשיפוע המשיק	עצירה צעד אחד לפני הסוף — ובדיוק הצעד שנשאל עליו
2	‏1/2 הופך ולא שונה הסימן	המכפלה (1/2)·2 = 1 הייתה תופסת מיד
מינוס חצי	הסימן שונה ולא הופך	החצי השני של אותה מלכודת
10	משוואת המשיק חושבה נכון לגמרי, והוגש האיבר החופשי	השאלה ביקשה שיפוע, לא נקודת חיתוך עם הציר

הכלל שאפשר לקחת הלאה

מציבים את הנקודה במשוואת המעגל לפני שנוגעים במשיק. יצא בדיוק האגף הימני — היא על המעגל; יצא קטן — היא בפנים; יצא גדול — היא בחוץ.
הסימן בסוגריים הפוך לשיעור המרכז. ‏(y + 2)² פירושו −2.
האגף הימני הוא הרדיוס בריבוע, לא הרדיוס.
אסור להסיק מסקנה גאומטרית מהסתכלות בסרטוט. "רואים שהנקודה על המעגל" אינו טיעון — הצבה כן.

בדיקה עצמית (בשאלון התשובה פתוחה — כאן האפשרויות הן כדי שתאבחן את עצמך): נתון המעגל (x − 1)² + (y + 2)² = 20. איפה נמצאת הנקודה B(2, 1)?

גלה את התשובה

התשובה: (ב) בתוך המעגל

מציבים ומקבלים (2−1)² + (1+2)² = 1 + 9 = 10 שהוא קטן מ-20, ולכן B נמצאת בתוך המעגל — ולכן לא עובר דרכה אף משיק. מי שהריץ עליה את פרוצדורת המשיק היה מקבל מספר, והמספר לא היה אומר כלום. הצבה אחת מכריעה, וסרטוט אינו ראיה.

אותו הסבר, בווידאו

צעד אפס לפני המשיק — הריל

36 שניות · מתמטיקה 5 יח׳ · י״ב · הפקה מקורית של EduFlow

הריל מתחיל מושתק — הפעל את הקול כדי לשמוע את ההסבר.

תמלול הריל (הטקסט המלא)

החשבון ייתן לך מספר גם כשהנקודה לא על המעגל. הוא פשוט יפתור בעיה אחרת. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, אבל הפרוצדורה מניחה שהנקודה היא נקודת השקה. לנקודה מחוץ למעגל עוברים שני משיקים ולנקודה שבתוכו לא עובר אף אחד. לכן קודם צעד אפס, הצוות הנקודה במשוואה. יצא בדיוק עשרים, היא על המעגל, פחות בפנים, יותר בחוץ. כאן הנקודה 5 -0 נותנת 16 ועוד ארבע, כלומר עשרים. מותר להמשיך.

שאלות ותשובות

איך בודקים אם נקודה נמצאת על מעגל?

מציבים את שיעורי הנקודה באגף השמאלי של משוואת המעגל ומשווים לאגף הימני. יצא שווה — הנקודה על המעגל; יצא קטן יותר — היא בתוכו; יצא גדול יותר — היא מחוצה לו. לנקודה חמש ואפס במעגל שבדף הזה מתקבל 16 ועוד 4 שהם 20, בדיוק האגף הימני.

למה חייבים לבדוק את זה לפני שמחשבים משיק?

כי הפרוצדורה כולה מניחה שהנקודה היא נקודת השקה. לנקודה מחוץ למעגל עוברים שני משיקים, ולנקודה שבתוכו לא עובר אף אחד. אם תריץ את החשבון על נקודה שאינה על המעגל תקבל מספר — נכון לבעיה אחרת — ושום שלב בחשבון לא יזהיר אותך.

מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה חמש ואפס?

מינוס שתיים. המרכז הוא אחת ומינוס שתיים, שיפוע הרדיוס אל הנקודה הוא שתיים חלקי ארבע שהוא חצי, ושיפוע המשיק הוא ההופכי והנגדי שלו. הבדיקה: חצי כפול מינוס שתיים שווה מינוס אחד.

איך קוראים את מרכז המעגל מהמשוואה?

הסימן בתוך הסוגריים הפוך לשיעור המרכז. x פחות 1 בריבוע פירושו ששיעור ה-x של המרכז הוא 1, ו-y ועוד 2 בריבוע פירושו ששיעור ה-y הוא מינוס 2. קריאה שגויה של הסימן מייצרת מעגל אחר לגמרי, במקום אחר במישור.

האגף הימני של משוואת המעגל הוא הרדיוס?

לא, הוא הרדיוס בריבוע. אגף ימני של 25 פירושו רדיוס 5, ואגף ימני של 20 פירושו רדיוס שהוא שורש 20. הגשת האגף הימני עצמו כרדיוס היא עצירה באמצע הדרך.

מלכודות קרובות

אותו הרגל-פתרון, גזע שאלה אחר.

כל המדריכים לפי מסלול →

עוד 12 רילים כמו זה — בלי להוריד כלום

מתמטיקה 4 ו-5 יחידות ואנגלית — כל ריל מפרק מלכודת אחת בפתרון אחד. חינם, בעברית.

לצפות בריל הזה ולהמשיך → הורדה מה-App Store

חינם · iOS · ללא רישום כדי לצפות

תוכן חינוכי מקורי המלמד לקראת בחינות הבגרות. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף למשרד החינוך. מבנה הבחינות ותוכנית הלימודים משתנים מעת לעת — יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר ומול הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך.

המספרים בעמוד הזה נגזרים מחבילת-המקור שלנו לנושא (demo/pilot_bagrut/source_packs/math5_analytic_geometry.md) ומהתמלול של הריל עצמו. השאלות המובאות כאן הן שאלות מקוריות של EduFlow שנכתבו ונפתרו אצלנו — לא פריטים מתוך שאלון בגרות. נתוני המבנה מבוססים על תוכניות-הלימודים ועל הפרסומים הרשמיים של משרד החינוך ב-edu.gov.il; יש לוודא את הדרישות המחייבות מול בית הספר.