שטח גזרה בעיגול — קודם השבר, אחר-כך המדד

השאלה, כפי שהיא מנוסחת בבחינה

בעיגול שרדיוסו 6 נחתכה גזרה בזווית מרכזית של 90 מעלות. מהו שטח הגזרה?

(א)9π✓
(ב)36π
(ג)3π
(ד)9

התשובה הנכונה: (א) 9π

(א) 9π — נכון. שטח העיגול כולו הוא π × 6² = 36π, וזווית של 90° היא רבע מהמעגל, ולכן שטח הגזרה הוא רבע מ-36π.
(ב) 36π — שטח העיגול כולו. חישוב נכון לגמרי של השטח, בלי הצעד שלוקח את הרבע.
(ג) 3π — אורך הקשת. היקף המעגל הוא 2π × 6 = 12π, ורבע ממנו הוא 3π — כלומר השבר הנכון הופעל על המדד הלא-נכון.
(ד) 9 — זה 36 ÷ 4 בלי פאי כלל. השבר נכון, והקבוע נשמט בדרך.

שים לב מה משותף לשלושת המסיחים: כל אחד מהם הוא תוצאה אמיתית של פעולה שאפשר לעשות על הנתונים האלה. 36π הוא שטח, 3π הוא אורך, 9 הוא מספר. אף אחד מהם אינו טעות חשבון — כולם עצירה בנקודה אחרת של אותו פתרון.

שני הצעדים, ולמה הסדר שלהם קבוע

π × 6² = 36πשטח העיגול כולו — פאי כפול הרדיוס בריבוע.
90 ÷ 360 = ¼השבר מהמעגל. זווית מרכזית של α מעלות חותכת שבר של α חלקי 360.
36π × ¼ = 9πהשבר מופעל על המדד שנשאל — וכאן נשאל השטח.

אין נוסחת-גזרה לשנן

אפשר לחשוב שיש נוסחה אחת לשטח גזרה ונוסחה אחרת לאורך קשת, ולזכור שתיים. אין צורך: יש נוסחה אחת לכל מדד של המעגל השלם, וכופלים אותה בשבר שהזווית חותכת.

השבר אחד, המדד משתנה — הכול בעיגול שרדיוסו 6
הזווית המרכזית	השבר מהמעגל	שטח הגזרה	אורך הקשת
360°	1	36π	12π
180°	½	18π	6π
90°	¼	9π	3π
60°	⅙	6π	2π

העמודה השנייה היא הזווית חלקי 360, והיא זהה לשתי העמודות שאחריה. ההבדל בין שתי העמודות האחרונות אינו בשבר אלא בשאלה איזה מדד של המעגל השלם הוכפל בו: 36π הוא שטח, 12π הוא היקף. שני מדדים שונים, ביחידות שונות, ואסור להחליף ביניהם.

הכלל שאפשר לקחת הלאה

קודם השבר, אחר-כך המדד. שני צעדים בסדר קבוע, ואותו סדר עובד גם לשטח וגם לקשת.
היקף ושטח אינם ניסוחים חלופיים לאותו דבר. מסיח שמחליף ביניהם נראה בדיוק כמו התשובה, כי גם הוא תוצאה של חישוב נכון.
מספר בלי פאי הוא סימן אזהרה. בשאלת מעגל שהנתון בה הוא רדיוס שלם, תשובה נקייה מפאי היא הצעד שנעצר לפני הקבוע — בדיוק המסיח (ד) כאן.

נתונים מלבן שאורכו 8 ורוחבו 1, וריבוע שצלעו 4. איזו מהטענות נכונה?

גלה את התשובה

התשובה: (ב) היקף המלבן גדול יותר ושטחו קטן יותר

מלבן 8 על 1: היקף 18, שטח 8. ריבוע שצלעו 4: היקף 16, שטח 16. ההיקף של המלבן גדול יותר ובאותה נשימה השטח שלו קטן יותר, ולכן (ד) — שמנסחת את הכלל האינטואיטיבי — היא בדיוק מה שהזוג הזה מפריך. אותה מחלה כמו למעלה: שני מדדים שונים, ואי-אפשר להסיק מאחד על השני.

אותו הסבר, בווידאו

רבע נכון, מדד לא נכון — הריל

37 שניות · פסיכומטרי — חשיבה כמותית · הפקה מקורית של EduFlow

הריל מתחיל מושתק — הפעל את הקול כדי לשמוע את ההסבר.

תמלול הריל (הטקסט המלא)

בעיגול שרדיוסו 6 נחתכה גזרה. הזווית המרכזית שלה היא תשעים מעלות. מהו שטח הגזרה? האפשרויות מודפסות. יש לך שלוש שניות. תשעים מעלות הן רבע מהמעגל. 36 פאי הוא שטח העיגול כולו. המסיח הזה לא לקח את הרבע. 3 פאי הוא אורך הקשת. זה אורך, לא שטח. רבע נכון, אבל מדד לא נכון. המסיח תשע השמיט את פאי. רבע משטח העיגול הוא 9 פאי. קודם החלק מהמעגל, ואז המדד שנשאל.

שאלות ותשובות

מהו שטח גזרה בזווית של 90 מעלות בעיגול שרדיוסו 6?

תשעה פאי. שטח העיגול כולו הוא פאי כפול 6 בריבוע, כלומר 36 פאי; זווית מרכזית של 90 מעלות היא 90 חלקי 360, כלומר רבע מהמעגל; ורבע מ-36 פאי הוא תשעה פאי.

למה 3π אינו התשובה?

כי שלושה פאי הוא אורך הקשת ולא שטח. היקף המעגל הוא פעמיים פאי כפול 6, כלומר 12 פאי, ורבע ממנו הוא שלושה פאי. השבר חושב נכון והופעל על ההיקף במקום על השטח — שני מדדים שונים ביחידות שונות.

צריך לזכור נוסחה נפרדת לשטח גזרה?

לא. מחשבים את המדד של המעגל השלם — שטח או היקף — וכופלים בשבר שהזווית חותכת, כלומר בזווית חלקי 360. אותם שני צעדים עובדים לכל זווית ולכל מדד.

איך יודעים איזה שבר הזווית חותכת?

מחלקים את הזווית המרכזית ב-360. זווית של 90 מעלות היא רבע, של 60 מעלות היא שישית, ושל 180 מעלות היא חצי. אותו שבר חל גם על השטח וגם על אורך הקשת.

למה המסיח 9 מפתה?

כי הוא נראה כמו תוצאת הצעד האחרון: 36 חלקי 4. הוא נכון בשבר ושגוי בקבוע — פאי נשמט בדרך. תשובה נקייה מפאי בשאלת מעגל שווה בדיקה שנייה.

מלכודות קרובות

אותו הרגל-פתרון, גזע שאלה אחר.

כל המדריכים לפי מסלול →

עוד 36 רילים כמו זה — בלי להוריד כלום

ארבעה מסלולים — חשיבה מילולית, חשיבה כמותית, אנגלית, ואסטרטגיה וניקוד. רוב הרילים מפרקים מלכודת אחת בפתרון אחד. חינם, בעברית.

לצפות בריל הזה ולהמשיך → הורדה מה-App Store

חינם · iOS · ללא רישום כדי לצפות

תוכן חינוכי מקורי המלמד את מבנה המבחן הפסיכומטרי הציבורי. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף ל-NITE/מאל"ו.

EduFlow אינה קשורה למאל"ו — המרכז הארצי לבחינות ולהערכה (NITE) — ואינה מסונפת אליו. "פסיכומטרי" ו"אמירנט" הם שמות של בחינות ציבוריות. נתוני מבנה הבחינה והמועדים בעמוד זה מבוססים על הפרסומים הרשמיים של מאל"ו; לפני הרשמה יש לוודא מול nite.org.il.

המספרים בעמוד הזה נגזרים מחבילת-המקור שלנו לנושא (quant_geometry.md) ומהתמלול של הריל עצמו, והשאלות המובאות כאן הן שאלות מקוריות של EduFlow בסגנון הבחינה — לא פריטים של מאל"ו. נתוני מתכונת דצמבר 2026 מבוססים על הפרסומים הרשמיים של מאל"ו ב-nite.org.il.