עלה 20% וירד 20% — למה 100 ₪ לא חוזרים ל-100

Q: למה 100 ₪ שעלה 20% וירד 20% לא חוזר ל-100?

כי שני האחוזים לא מחושבים מאותו מספר. העלייה נמדדת מ-100 ומוסיפה 20 שקלים, אבל הירידה נמדדת מ-120 ומורידה 24 שקלים. עלינו ב-20 וירדנו ב-24, ולכן נשארנו עם 96 שקלים.

Q: האם זה משנה אם קודם יורדים ואז עולים?

לא. כפל הוא חילופי, ולכן 1.2 × 0.8 שווה 0.8 × 1.2 — בשני המקרים המכפלה היא 0.96. אם יורדים קודם מגיעים ל-80, ואז עלייה של 20% מחזירה ל-96. אותה תשובה בדיוק.

Q: יש אחוז שבו כן מתקזז?

אין. עלייה ואז ירידה באותו אחוז נותנות תמיד (1+p)(1−p) שהוא 1 מינוס p בריבוע. מכיוון ש-p בריבוע תמיד חיובי, המכפלה תמיד קטנה מ-1, ולכן התוצאה תמיד נמוכה מהמקור.

Q: איך מתרגמים במהירות אחוז למקדם?

עלייה של X אחוזים היא כפל ב-1 ועוד X חלקי 100, וירידה של X אחוזים היא כפל ב-1 פחות X חלקי 100. עלייה של 20% היא 1.2, ירידה של 20% היא 0.8, עלייה של 30% היא 1.3.

Q: מה קורה כששני האחוזים שונים זה מזה?

אותו כלל בדיוק — כופלים את המקדמים. הנחה של 20% ואז הנחה נוספת של 10% נותנות 0.8 כפול 0.9 שהם 0.72, כלומר הנחה כוללת של 28% ולא 30%.

השאלה, כפי שהיא מנוסחת בבחינה

מחיר מוצר הוא 100 ₪. המחיר עלה ב-20%, ולאחר מכן ירד ב-20%. מה המחיר הסופי?

(א)100 ₪
(ב)104 ₪
(ג)96 ₪✓
(ד)80 ₪

התשובה הנכונה: (ג) 96 ₪

(א) 100 ₪ — התשובה שהניסוח מזמין: אותו אחוז עלה וירד, אז לכאורה חזרנו לנקודת ההתחלה. זה בדיוק המסיח שהשאלה נבנתה סביבו.
(ב) 104 ₪ — מי שהוסיף 20 וחיסר 16 (או ערבב בין החישובים) מגיע לכאן. אין שלב בפתרון שמייצר 104.
(ג) 96 ₪ — נכון. 100 × 1.2 = 120, ואז 120 × 0.8 = 96.
(ד) 80 ₪ — זו התוצאה של ירידה של 20% מ-100 בלבד, כלומר התעלמות מוחלטת מהעלייה שקדמה לה.

שים לב מה קורה כאן: שלושה מתוך ארבעת המסיחים הם חישוב נכון — של שאלה אחרת. 80 הוא בדיוק התשובה אילו היתה רק ירידה; 100 הוא התשובה אילו האחוזים היו מתקזזים. השאלה לא בודקת אם אתה יודע לחשב אחוז. היא בודקת אם שמת לב מאיזה מספר מחשבים אותו.

למה האינטואיציה נופלת כאן

"עלה 20% וירד 20%" נשמע כמו פעולה והיפוכה, כמו להוסיף 20 ואז לחסר 20. אבל אחוז אינו מספר — הוא יחס למשהו, וה"משהו" הזה זז באמצע השאלה.

העלייה מחושבת מ-100: עשרים אחוז מ-100 הם 20 שקלים.
הירידה מחושבת מ-120: עשרים אחוז מ-120 הם 24 שקלים.
עלינו ב-20 וירדנו ב-24. ההפרש, 4 שקלים, הוא כל ההבדל בין 100 ל-96.

הפתרון, צעד אחרי צעד

100 × 1.2 = 120עלייה של 20% היא כפל ב-1.2 — כלומר 100% מהמחיר ועוד 20%.
120 × 0.8 = 96ירידה של 20% היא כפל ב-0.8. שים לב שהכפל הוא ב-120, המחיר החדש, ולא ב-100.
96 < 100המחיר הסופי נמוך מהמקורי ב-4 שקלים, שהם 4% מהמחיר ההתחלתי.

אפשר גם לוותר על שלב הביניים לגמרי ולכפול את שני המקדמים זה בזה: 1.2 × 0.8 = 0.96. המחיר הסופי הוא 96% מהמחיר ההתחלתי, מה שנותן 96 ₪ בשורה אחת.

הקיצור: תרגם ניסוח למקדם לפני שאתה נוגע במספר

כל שאלת אחוזים עם יותר משינוי אחד נפתרת מהר יותר אם מתרגמים כל שינוי למקדם, ואז כופלים. עלייה של X אחוזים היא כפל ב-1 + X/100; ירידה של X אחוזים היא כפל ב-1 − X/100.

עלייה ואז ירידה באותו אחוז — מה נשאר מהמחיר המקורי
האחוז	המקדמים	המכפלה	מה נשאר
10%	1.1 × 0.9	0.99	99%
20%	1.2 × 0.8	0.96	96%
25%	1.25 × 0.75	0.9375	93.75%
50%	1.5 × 0.5	0.75	75%

העמודה השלישית תמיד קטנה מ-1, וזה לא מקרי: עלייה ואז ירידה באותו אחוז נותנות (1 + p)(1 − p), שהוא 1 − p². מכיוון ש-p² תמיד חיובי, התוצאה תמיד קטנה מ-1. לכן אין שום ערך של אחוז שבו זה מתקזז — וזה נכון גם כשהירידה קודמת לעלייה.

הכלל שאפשר לקחת הלאה

שני שינויים ברצף = כפל מקדמים. אף פעם לא חיבור וחיסור של אחוזים.
אותו אחוז למעלה ולמטה תמיד מוריד. הכיוון ידוע עוד לפני החישוב, וזה כבר פוסל מסיחים.
המסיח שנראה הכי הגיוני הוא בדרך כלל החישוב של השאלה השנייה — זו שלא נשאלה.

חנות נתנה הנחה של 20%, ואז הנחה נוספת של 10% על המחיר המוזל. מה ההנחה הכוללת?

גלה את התשובה

התשובה: (ב) 28%

0.8 × 0.9 = 0.72, כלומר נשארו 72% מהמחיר — הנחה של 28%. התשובה 30% היא חיבור האחוזים, וזו בדיוק אותה מלכודת: ההנחה השנייה מחושבת מהמחיר המוזל, לא מהמקורי.

אותו הסבר, בווידאו

עלה 20%, ירד 20% — הריל

39 שניות · פסיכומטרי — חשיבה כמותית · הפקה מקורית של EduFlow

הריל מתחיל מושתק — הפעל את הקול כדי לשמוע את ההסבר.

תמלול הריל (הטקסט המלא)

מחיר של מאה שקלים עלה ב-20 אחוז, ואז ירד ב-20 אחוז. חזרנו ל-100? לא. וזו בדיוק המלכודת. עלייה ב-20 אחוז, כפל באחת נקודה שתיים. המחיר הופך למאה ועשרים. ירידה ב-20 אחוז, כפל באפס נקודה שמונה. מחשבים ממאה ועשרים, לא מ-100. התשובה היא 96. הקיצור הוא להכפיל מקדמים. מכפלת המקדמים קטנה מאחד, אז תמיד יוצא פחות מהמקור. עלה וירד באותו אחוז, זה לא מתקזז. הכפל מקדמים, התוצאה תמיד קטנה.

שאלות ותשובות

למה 100 ₪ שעלה 20% וירד 20% לא חוזר ל-100?

כי שני האחוזים לא מחושבים מאותו מספר. העלייה נמדדת מ-100 ומוסיפה 20 שקלים, אבל הירידה נמדדת מ-120 ומורידה 24 שקלים. עלינו ב-20 וירדנו ב-24, ולכן נשארנו עם 96 שקלים.

האם זה משנה אם קודם יורדים ואז עולים?

לא. כפל הוא חילופי, ולכן 1.2 × 0.8 שווה 0.8 × 1.2 — בשני המקרים המכפלה היא 0.96. אם יורדים קודם מגיעים ל-80, ואז עלייה של 20% מחזירה ל-96. אותה תשובה בדיוק.

יש אחוז שבו כן מתקזז?

אין. עלייה ואז ירידה באותו אחוז נותנות תמיד (1+p)(1−p) שהוא 1 מינוס p בריבוע. מכיוון ש-p בריבוע תמיד חיובי, המכפלה תמיד קטנה מ-1, ולכן התוצאה תמיד נמוכה מהמקור.

איך מתרגמים במהירות אחוז למקדם?

עלייה של X אחוזים היא כפל ב-1 ועוד X חלקי 100, וירידה של X אחוזים היא כפל ב-1 פחות X חלקי 100. עלייה של 20% היא 1.2, ירידה של 20% היא 0.8, עלייה של 30% היא 1.3.

מה קורה כששני האחוזים שונים זה מזה?

אותו כלל בדיוק — כופלים את המקדמים. הנחה של 20% ואז הנחה נוספת של 10% נותנות 0.8 כפול 0.9 שהם 0.72, כלומר הנחה כוללת של 28% ולא 30%.

מלכודות קרובות

אותו הרגל-פתרון, גזע שאלה אחר.

כל המדריכים לפי מסלול →

עוד 36 רילים כמו זה — בלי להוריד כלום

ארבעה מסלולים — חשיבה מילולית, חשיבה כמותית, אנגלית, ואסטרטגיה וניקוד. רוב הרילים מפרקים מלכודת אחת בפתרון אחד. חינם, בעברית.

לצפות בריל הזה ולהמשיך → הורדה מה-App Store

חינם · iOS · ללא רישום כדי לצפות

תוכן חינוכי מקורי המלמד את מבנה המבחן הפסיכומטרי הציבורי. אינו שאלון רשמי ואינו מסונף ל-NITE/מאל"ו.

EduFlow אינה קשורה למאל"ו — המרכז הארצי לבחינות ולהערכה (NITE) — ואינה מסונפת אליו. "פסיכומטרי" ו"אמירנט" הם שמות של בחינות ציבוריות. נתוני מבנה הבחינה והמועדים בעמוד זה מבוססים על הפרסומים הרשמיים של מאל"ו; לפני הרשמה יש לוודא מול nite.org.il.

המספרים בעמוד הזה נגזרים מחבילת-המקור שלנו לנושא (quant_arithmetic_percentages.md) ומהתמלול של הריל עצמו, והשאלות המובאות כאן הן שאלות מקוריות של EduFlow בסגנון הבחינה — לא פריטים של מאל"ו. נתוני מתכונת דצמבר 2026 מבוססים על הפרסומים הרשמיים של מאל"ו ב-nite.org.il.